第一章 数字逻辑基础——数制

信息技术

信息技术三大支柱分别是计算机技术、通信技术和传感器技术。

基（Base/Radix）

基指数码的个数，如十进制的“基”是10，八进制的“基”是8。

十进制的表示方法

位置计数法（Positional notation）：

$N_D=(K_{n-1}{K}_{n-2}\dots K_1{K}_0.K_{-1}\dots K_{-m}{)}_D$

多项式计数法（Polynomial notation）：

$N_D=k_{n-1}\times {10}^{n-1}+k_{n-2}\times {10}^{n-2}\dots k_1\times {10}^1+k_0\times {10}^0+k_{-1}\times {10}^{-1}+\cdots +k_{-m}\times {10}^{-m}$

公式中的m指小数点后的位数，n指小数点前的位数，如123.45中的m、n分别为2、3。$K_i$表示位号i处的数，如123.45中$k_0$为3，$k_1$为2，$k_{-1}$为4。

位号

位置的编号。

公式中$K_0$和$K_{-1}$之间的圆点$.$表示小数点。小数点的左边第一位数字的位号为0，如在$123.45$中$3$的位号为0，$2$的位号为1，$1$的位号为2，$4$的位号为-1，$5$的位号为-2。

位权

位权是指数制中每一固定位置对应的单位值。

“基”作底数，“位号”作指数，计算出的幂即为位权。如在$137.5$中，位号0处位权为1（即${10}^0$），位号1处位权为10（${10}^1$），位号2处位权为100（${10}^2$），位号-1处位权为0.1(${10}^{-1}$)。

其它进制转十进制

如果对其它进制的“多项式计数法”进行四则运算，发现结果即为该进制数字对应的十进制数值。

如二进制$N_B=(101.011{)}_B$的多项式计数法为：$N_B=1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$

$1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$
$=2^2+2^0+2^{-2}+2^{-3}$

$=4+1+0.25+0.125$

$=5.375$
其它进制转十进制同理。

任意进制的表示方法

十九进制的“基”（数码个数）为19，数码为：0-9、A-P。

位置计数法：$N_{19}=(k_{n-1}{k}_{n-2}\dots k_1{k}_0.K_{-1}\dots k_{-m}{)}_{19}$
多项式计数法：$N_{19}=k_{n-1}\times {19}^{n-1}+k_{n-2}\times {19}^{n-2}\dots k_1\times {19}^1+k_0\times {19}^0+k_{-1}\times {19}^{-1}+\cdots +k_{-m}\times {19}^{-m}$

十进制转二进制

例：将$(37.375{)}_D$转化为二进制数。
解：（1）整数部分：“除以2取余”，直到商为0。

$(37{)}_D=(100101{)}_B$
（2）小数部分：“乘以2取整”，直到小数部分为0。

$(37.375{)}_D=(100101.011{)}_B$

十进制转八进制

例：将$(44.375{)}_D$转化为八进制数。
解：（1）整数部分：“除以8取余”，直到商为0。

（2）小数部分：“乘以8取整”，直到小数部分为0。

$(44.375{)}_D=(54.3{)}_O$

十进制转二进制时可以先转为八进制，再由对应的八进制转为二进制。

十进制转十六进制

例：将$(154.375{)}_D$转化为十六进制数。
解：（1）整数部分：“除以16取余”，直到商为0。

（2）小数部分：“乘以16取整”，直到小数部分为0。

$(154.375{)}_D=(9A.6{)}_H$

十进制转二进制时可以先转为十六进制，再由对应的十六进制转为二进制。

八进制与二进制的关系

3位二进制数对应1位八进制数。

$($374.26${)}_O$ = $($011111100.010110${)}_B$

十六进制与二进制的关系

4位二进制数对应1位十六进制数。

$($AF4.76${)}_H$ = $($101011110100.01110110${)}_B$